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漫談肌肉研究 Myology (3)
文章出處
  蔡豐州醫師
日期&閱覽
 張貼日期:2008/1/25  閱覽次數:5484

                                    漫談肌肉研究 Myology (3)

                                                              作者: 蔡豐州醫師 (版權所有)

 
根據科學家持續的觀察, 發現布朗運動有下列主要特性
1, 粒子的運動由平移及及轉移所構成, 顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線
2, 粒子之移動顯然互不相關, 甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此
3, 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時, 粒子的運動越活潑
4, 粒子的成分及密度對其運動沒有影響
5, 粒子的運動永不停止

從數學了解, 和物理角度, 還是有點不同的, 較為抽象嚴謹, 而且發展較慢.

Lebesgue 提出測度論後約20年, 1923Wiener首先提出較簡明的數學公式, 當作隨機過程 (Stochastic Process) 來研究, 並證明布朗運動到處連續. 1924 Khintchine 証明布朗運動的疊對數法則 (Law of iterated logarithm),1933Wiener Paley 以及 Zygmund 共同證明布朗運動到處不可微. 1939 Paul Levy 更深入研究, 做出許多推廣(多維 與 Hibert space)與更全面的結果, 至此已接近大成, 後進只能做ㄧ些較細微的部份.

 Paul Lévy (1886 to 1971): 20世紀最偉大的數學家之一, 他和 俄國數學家 AN Kolmogorov 並列 Stochastic process現代機率理論之父, 對於泛涵分析(functional analysis), PDE, series等都有非常重要的貢獻. 誕生於法國的數學世家, 祖父是數學教授, 父親也是數學老師, 而且早慧多產, 19歲就寫了第一篇數學論文. 同樣在機率理論有貢獻的數學家 Michel Loève 曾經如此形容他:[Paul Lévy was a painter in the probabilistic world. Like the very great painting geniuses, his palette was his own and his paintings transmuted forever our vision of reality. ... His three main, somewhat overlapping, periods were: the limit laws period, the great period of additive processes and of martingales painted in pathtime colours, and the Brownian pathfinder period. ]

1990年 Louis Bachelier 的博士論文提到可以用布朗運動來研究股價波動, 是深具啟發性的工作, 隨後應用越來越為廣泛.
數學的推導, 依照邏輯, 有點像將思考一步步透明化, 這個步驟稱為"過程"(process).可以依樣畫葫蘆, 做別的衍伸, 然後得到公式化的結果, 因此也可以說是簡化, 濃縮成一個思考的結晶. 所以, 布朗運動的數學推導過程, 稱為Wiener process, 與 另外一個 Poisson process (帕松過程), 是應用機率堻怑垠n的兩個過程.
機率/統計對於學醫的人來說, 總認為是附屬的, 或者交給SAS, SPSS軟體跑一下, p來p去, 統計上有意義就好, 不太重視原理的了解, 甚至連概念都搞不清楚. 其實這是驚人的錯誤!! 甚至導致大量誤差的研究.
這是台灣教育的奇怪現象, 在醫學大學唸或選修機率統計, 通常都是營養學分, 好像ㄧ定會pass, 但是沒人認真念的學科.

有興趣的人可以下載機率相關的電子書 Stochastic process 看一看

 Siméon-Denis Poisson (1781 to 1840): 知名的法國數學家與物理學家, 現在許多數學物理公式, 定理都有他的名字. 1798年進入所有未來科學家搖籃的巴黎綜合理工大學校(École Polytechnique, 歷史上暱稱為 X), 因為傑出早慧的表現, 18歲就發表論文. 知名的大數學家因為他的天份, 如 Pierre-Simon Laplace (拉普拉斯) 視其如子; Joseph Louis Lagrange (拉格朗日) 待其為好友, 都是基於惜才; 1806年接替另一位大名鼎鼎的數學家 Jean Baptiste Joseph Fourier (傅立葉)成為終身職教授. 那是拿破崙興盛的時期, "工業革命"與科學突飛猛進的黃金歲月, 卻是中國與世界脫鉤的鎖國轉變. 中國雖然也有數學家, 但是總是"孤臣無力難回天".

中國人讀科學史, 每次看到這兩三百年西方驚人進步, 除了仰慕這些天才的成就之外, 就是感慨於中國人於科學潮流中缺席的嚴重. 科學與國家的強盛有絕對的正相關!! 見證於科學的強大威力, 19世紀先是法國, 英國, 後是德國, 20世紀後就是美國的天下, 無ㄧ例外. 再怎麼強大的國家, 只要與時代的科學脫節, 下場都是一樣的. 海洋時代的西元1500年前後, 葡萄牙與西班牙因為航海科技的優勢, 甚至曾經在1494年, 於羅馬教皇主持的"搓湯圓/分贓"會議下, 用一隻筆就可以輕易將地球劃分為二, 東半邊所有航海發現的新大陸歸屬於葡萄牙, 西邊的屬於西班牙. 這是"日不落國"的開始, 比英國還早!! 從殖民地掠奪的財富多到數不完, 但是輕忽中世紀科學的發展(也就是我文章中大量數學, 物理, 機械等科學蓬勃發展的時代), 與其脫軌, 很快的, 再怎麼強都沒用, 過去的輝煌煙消雲散, 彷彿沒發生過.

中國人不是沒人才, 而是太稀疏, 力量零散, 整個文化並不支持理性思維的茁壯.
幾千年幾億人口週而復始的倍數, 如此多的人才/天才都去念文/藝/史, 搞科舉去了, 偏向, 完全向一側傾倒的文化, 就像偏食營養不良的民族, 等著被淘汰.
中國歷史我們可以舉出無數的文學奇才, 其文采與哲理照耀全人類的光輝, 但是科學卻是工藝工匠的層次, 被刻意的忽略. 以數學來說, 可書者極少, 如李善蘭: 他和 A. Wylie (1855-1887)ㄧ起合譯過<幾何原本>後九卷, 完成徐光啟, 利瑪竇未完成的工作, 又合譯 AD Morgan (1806-1871) 的<代數學>13卷, E. Loomis (1811-1899) 的<代微積拾級>18卷. 前者是我國第一部以代數命名的符號代數學, 後者則是我國第一部解析幾何和微積分著作, 其中不少中文數學名詞都是李善蘭的創造, 如: 代數學, 系數, 根, 多項式, 方程式, 函數, 微分, 積分, 級數, 切線, 法線, 漸近線等. 他自己所寫的數學著作有<方圓闡幽>, <弧矢啟秘>, <對數探原>等13種共24卷數學著作. 他在質數和級數論方面都有一些成果, 亦創造了一種用尖錐的面積來表示Xn的 [尖錐術], 實際上就得出了有關定積分的公式, 而這項成果是在他著手翻譯<代微積拾級>之前就取得的. 在垛積術的研究中更得到一些組合學的重要結論, 其中著名的[李善蘭痤它(則成為後來中外數學家用現代數學方法加以證明的課題.
然而, 整個國家卻沒有因為幾個科學種子, 而生根開枝散葉, 始終沉醉在過去中國幾千年的強盛迷思中, 宛若老漢只提當年勇.

 李善蘭(1811 to 1882)

布朗運動的數學嚴格定義:
令{B(t): t>=0}  為一隨機過程, 且滿足以下三個條件:
1, B(0)=0
2, 設 

 為獨立隨機變數族
3, 對每一  S>=0, T>=0, B(t+s)-B(s) 有常態分配N(0,t), 所以

數學裡存在處處連續, 但是卻是不可微分的函數, 很詭異. 我們可以看見, 根據上述定義, 布朗運動的軌跡的確是沒有切線, 不可微分.

故事得從隨機漫步談起較為廣泛, 因為布朗運動只是它的特殊情況, 它是數學裡機率理論較晚發展的.
隨機漫步可以用醉漢走路的理想模式來比喻: 假設某個人喝醉, 所以走路往左往右的機率各半, 如果走的步數很大, 大約走到距離出發原點距離N開根號的機率是0.68, 距離2(N開根號)的機率是0.95. 這和機率理論發展的很雷同, 物理學家薛丁格稱此為"N開根號法則".
說實在, 機率論雖然發展起源甚早, 只要有賭博, 就有機率. 但是機率理論卻一直沒有公理化, 直到1933年 才由俄國數學家 Kolmogorov 完成, 這幾乎和本文前面所提的天才 John von Neumann 完成量子力學公理化同時期.
隨機漫步術語稱為"random walk", 最早是 Karl Pearson1905年於寄給Nature的一封信所提出的問題, 他原先是希望有人可以為他的森林蚊蟲感染, 提供數學模式來描述. 也就是說, 一隻蚊子每次隨機選擇任意角度, 移動固定的距離長度a 的假設下, 他很想知道經過許多"奧步"之後, 蚊子的分布會如何??
後來 Lord Rayleigh (1904年諾貝爾物理獎得主) 回答了這封信, 而且其實早在1880年, 他就已經解決了此類問題較廣泛的通例(general form), 也就是描述不同物質, 波長固定的聲波被往不同方向散射所出現的隨機漫步特性.
20世紀初, 包括更早之前的科學家常常是各做各的, 主要是因為資訊流通受到地理環境與科技所限, 彼此並不知道做過什麼研究, 所以往往鬧雙包, 多包, 大家搞了半天, 都做同樣的研究, 有的其實早就想出來了, 只不過發表晚一點, 就會"爭頭香"爭得面紅耳赤, 甚至演變成羅生門.  
也就是這類時空, 一些人不約而同, 分別除了Karl Pearson, Lord Rayleigh, 1990 Louis Bachelier 的博士論文, 針對商業股票的時間模式, 發表隨機漫步的觀點, 成功為現代理論商業學奠基; 當然, 之前提到的1905年, Einstein 的布朗運動; 1906Smoluchowski 也獨立發表了布朗運動的數學理論. 真的是 英雄所見略同, 非常輝煌的時代!!

為什麼科學研究的方法都會逐漸朝某些趨勢依附? 除了時空背景的知識成熟之外, 討論問題的深度與廣度也較過去更為複雜.
1960年諾貝爾生理醫學獎得主 Sir Peter Brian Medawar (1915 to 1987)曾說:[若問一位科學家, 他認為什麼才是好的科學方法, 他的表情會立刻變得一本正經 + 眼神閃爍: ㄧ本正經, 是因為覺得應該發表意見; 而眼神閃爍, 則是他想, 如何才能掩飾他沒有意見可發表的事實.]
上述倒是說中大多數人的心虛之處!! 講句公道話, 世界上任何科學家求學過程, 並沒有先學好或是了解科學研究方法, 再開始做研究或實驗. 通常都是邊做邊自修比較多, 也就是說, 科學界都是直接"下海", 有時候依樣畫葫蘆就這麼做出來, "菜"也不難吃. 我們生物醫學界更是常見, 老師這麼做, 我也照做, 其實就是遵循另一種模式, 成功模式, 希望可以畢業, 交差, 升等, 功成名就, 畢竟這是最實際的路子, 最安全有效率有保障的.

以科學最常見的歸納法為例, 這是科學哲學家 Karl Popper (1902 to 1994), 所堅持的原則, 雖然目前來看問題很多. 歸納法當然顧名思義, 是以一或少推多, 所以邏輯推理, 其命題的證成(justification), 可以分成正反兩種, 也就是"正": 科學家必須找出確認的證據, 這是確證法(confirmation), 可以想見, 並不容易之外, 也較慢; 另一種就是"反", 換句話說, 只要沒有找到和這個命題違背的證據, 間接就是證明命題是對的, 這就是否證法(falsification), 比如說天下的烏鴉都是黑的, 只要沒有找到白烏鴉, 就證明命題為真, 這是Karl Popper所提倡的, 當然快速輕鬆很多.

 Karl Popper 對於科學哲學貢獻良多 (不過根據他的傳記, 本人實在是一個難搞/機車的人) 他的觀念其實許多並非原創, 其實17世紀的經驗主義, 就已經提到經驗檢驗的必要性.

但是歸納法一定正確嗎? 其實從哲學發展史來看, 一直爭議很多, 最大的問題如:
1, 如果事物沒有齊一性, 歸納法就沒戲唱. 這也是目前科學逐漸發現, 希望每件事物長得都一樣, 實在是一廂情願. 古典力學的諸多假設都是建立在齊一性, ㄧ致性上頭. 並非代表"古典"就不好, 有時候單純, 化約, 簡化 是科學重要的方法論. 如同古典音樂之於現代音樂, 各有所長. 目前探討的肌肉力學所應用的方法就是基於齊一性的被打破. Karl Popper 學術的死對頭 德國哲學家 Rudolf Carnap (1891 to 1970), 也就是維也納邏輯實証學派的掌旗, 對於歸納法的否証論點提出諸多質疑.
2, 歸納法無法被證明: 大哲學家 David Hume 休謨 (1711 to 1776)很早就針對此方法的真偽提出質疑:[如何證明歸納法?]
3, 否証所提出的證據, 也有"可能性"的問題, 如實驗的品質, 結果的不可預測性等. 同樣的, 另一個稱為"Duhem-Quine thesis"的論旨說: 證據無法充分決定理論, 因為實驗資料是有限的, 但是理論通常至少潛在包含無數的經驗預測. 哇, 正反都有可能不足, 這,..... 我們如果完全相信否証, 那麼19世紀天文學的觀察, "水星軌道偏移"現象, 就會直接否定牛頓的理論. 這意味著什麼? 人類選擇性相信大部分為真的理論, 要不如此, 很多人就會活不下去, 因為這個真實的世界到處存在被否定的證據, 只是多寡而已.
4, 純否証只能確定理論是假, 但無法確定理論為真.
5, 有些理論本身沒有預測什麼, 因此找不到要否定的對象.

誠如人生所面臨的尷尬處境, 當您所賴以支持或信賴的基礎破滅的時候, 您怎麼辦? 婚姻, 感情, 工作都可以舉出無數例子, 這也是電影喜愛的話題, 如"駭客任務" , "史密斯任務"..等等. 很多科學家賴以作研究的基礎動搖, 還能做實驗, 研究科學嗎? 這可不能開玩笑, 茲事體大.
自古懷疑論(skepticism)者就此大發厥辭, 我們彷彿無法獲得關於世界的"可靠"知識: 我如何知道它們正確, 準確地反映了真實? 為了反對而反對, 就會沒完沒了. 許多哲學與科學都強調一個先驗(a priori)的論證, 也就是建立在一個不能質疑的基本假設或公理上.  關於這點, 爭論是無法停止的. 但是正面思考來看, 這可能也是科學進步的動力. 譬如牛頓的萬有引力定律反映了日常生活的感官, 直覺經驗, 所以過去被認為是真的. 直到愛因斯坦提出用嚴謹邏輯推導的另一種"真",,"相對論", 我們要相信哪一個呢? 科學告訴我們 : [證據], 實驗的證據, 理論預測值與實驗值的近似程度, 大量的證據, 證據的一致性, 也就是真的機率越高, 可信度越大.

所幸, 科學的研究方法雖不完美, 但是對於一般研究對象倒是不會出問題, 依然是研究工作者的好朋友.
哲學家羅素就此發表感言: [科學不是完全正確, 但也很少完全錯. 而且, 通常比非科學的理論有很好的機會變得正確. 因此,可以假設性地接受它是合理的.] 科學得以持續進展, 除了思考釐清這些基本架構之外, 如我前面所述, 科學家儘管沒有理論基礎, 也是每天做研究, 憑據的是什麼? 就是一些研究的模式, 公認可信的典範. 這也是 湯瑪斯.孔恩 (Thomas Kuhn) 在1962年所著<<科學革命的結構(The Structure of Scientific Revolutions>>媕Y強調 大部分常態科學(normal science)是在[典範(paradigm)] 轉移(shift)中發生.

 Thomas Kuhn (1922 to 1996)

好, 了解運用典範, 或者是學術主流之後呢? 難道過去建立的都不會錯嗎? 那可不是, 只不過不容易. ㄧ個時代的大躍進, 要突破窠臼, 就是當典範出現哲學所說的 不可共量性(incommensurability)時, 出現衝突的"水土不服", 才會出現新的典範思考.
所以, 轉移兩個字是關鍵!!

我們從學校習得的知識都是"前人種樹"的成果, 無論多麼淺顯高深, 都會形成習慣, 風氣, "典範". 尤其在醫學大學, 應用科學, 大家都做風險較低的研究, 每天做蛋白質, 基因,.. 等等分析, western blot, real-time PCR, RT PCR, immunostain, EM,...表面上方法很多, 但是在台灣, 常用的屈指可數, 絕大多數的人, 要在學術圈survival, 就得做孔恩所認為的[常態科學]. 跟醫學院的人說到signaling pathway, 你就知道我要說什麼. 我們都在砌磚, 貢獻每個人的微薄之力, 跟在真正創新者後面, 補強或延伸.孔恩寫道:[在正常的情況下, 科學家並非創新者, 而是解謎者, 而且只針對那些, 他相信可以在既存的科學傳統內陳述出來, 並允以解答的謎.]
Puzzle-solving! 典範不再絕對, 只有相對概念, 因此孔恩被歸類為相對主義者(Relativism). 只有當科學走到死胡同, 新科學 (revolutionary science) 才會萌芽, 但是重大發現往往都是主流以外的邊緣人物, 因為乖乖牌不可能爬牆, 翻牆, 甚至推倒牆.

實驗數據出現2.01, 2.10, 1.99, 1.89...時, 我們被教導, 應該當作2.00, 否則就是笨蛋, 不然論文怎麼製造出來的, 誤差得捨棄. 但是[簡化]的模型與數據在過去曾經被大力讚揚是天才之舉, 如今卻成為21世紀科學教育的包袱, 在台灣, 我們似乎還沒覺科學已經變了, 變得複雜多元. 所以, 這也難怪挑戰傳統, 常態科學的論文一開始被期刊駁回, 退稿, 被公正無私, 英明的期刊編輯丟到資源回收筒 (ps: 請在陳冠希照片事件之後了解, 刪除指令是無法完全銷毀檔案的 勿太天真!!). 更傳神的說法是, 太前衛的學術, 科學家常常不知道怎麼寫, 怎麼寫得讓同行, 或審稿編輯接受, 而且創新的論文往往卡在不同學門中間. 

肌肉的科學研究必須提到上述基礎架構的部份, 才會讓問題思考的充分必要性浮現出來. 從傳統的機械, 幾何模型, 到機率統計模型, 不在強調何者的"唯一", 而是歷史討論科學的脈絡, 需要轉變, 需要從簡單到複雜, 單一到多數,... 等等進階, 這些無非是人類科學ㄧ直在挑戰自我的展現. 肌肉研究是科學洪流裡的小小一環, 當然不能自外於所有21世紀的工具, 方法等.

如果哲學有後現代主義, 那麼科學也有後現代的主張, 以目前來看, 有幾項特質:
(1) 非線性, 不連續性: 這在目前混沌理論(chaos theory), 相變理論, 量子理論等等, 都明顯呈現. 打破了傳統齊一性, 許多理論或多或少會用到微分方程組, 機率, 動態理論等新的工具, 才能駕馭更為複雜的系統.
傳統的, 古典的科學看法從無知, 部分知, 到超自信認為全知全能, 到目前謙卑的知, 是人類的演化進步過程. 曾經在19世紀科學的果實非常豐碩的時期, 就像一個人越來越利害, 常常覺得自己無所不能. 媒體常看到這類人, 尤其是富可敵國的商人. 科學家也是, 這就是決定論的看法---- 沒有不能被決定, 被確認的現象.

 拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace)是決定論(determinism)的捍衛者, 他科學上的成就, 號稱"法國的牛頓"也不為過. 他認為只要掌握了所有變數與細節, 就可以模擬宇宙的任何事情, 彷彿有一個魔鬼可以知道所有的事情一般, 所以他自己比喻這為"拉普拉斯魔鬼(Laplace's demon)"的觀點. 1814年所寫的原文翻譯成英文是如此說的:[We may regard the present state of the universe as the effect of its past and the cause of its future. An intellect which at a certain moment would know all forces that set nature in motion, and all positions of all items of which nature is composed, if this intellect were also vast enough to submit these data to analysis, it would embrace in a single formula the movements of the greatest bodies of the universe and those of the tiniest atom; for such an intellect nothing would be uncertain and the future just like the past would be present before its eyes.]
他為了<天體力學>ㄧ書而頂撞拿破侖的一段故事, 便顯示了他對於科學的過度自信. 當拉普拉斯把這部著作的一份抄本獻給拿破侖, 拿破侖想逗惱拉普拉斯, 便抓住一個明顯的疏忽問他: [你寫了這部關於宇宙體系的巨著, 卻一次也沒有提到宇宙的創造者?] 拉普拉斯竟白目回嘴說: [陛下, 我根本不需要那個假設.] 儘管如此, 他可是有"堪展"(台語)與腰身"身段"才可以對拿破侖這樣講話, 因為他和拉格朗日都是法國火藥工業居功甚偉的人. 這個重要性和政治牆頭草/ 巴結的個性也曾幫他逃過法國大革命斷頭台命運, 這不容易, 因為當年連發現"燃素"是氧的著名化學家拉瓦錫 (Antoine-Laurent de Lavoisier, 1743 to 1794)都逃不掉斷頭的那一刀.
科學無堅不摧的看法不是19世紀的專利, 20世紀交界也仍舊是. 1900年8月8日德國大數學家希爾伯特(David Hilbert)於國際數學家大會(ICM)的演講中, 除了為20世紀的研究方向提出23關鍵數學問題, 還自信滿滿的說:
[.....我們只要持續推演就會找到解, 數學裡沒有 Ignorabimus (德文指"我們永遠不會知道").] 他的墓誌銘上刻著:[Wir mussen wissen, wir werden wissen (我們一定要知道, 我們終將知道).] 這無疑是20世紀一開始對科學的啦啦隊, 提升士氣的觀點.

 希爾伯特 (David Hilbert, 1862 to 1943), 他和著名啟蒙運動 德國哲學家康德 (Immanuel Kant, 1724 to 1804) 都誕生於東普魯士的小鎮 科尼斯堡(Konigsberg).

ps: 康德所處的時代, 歐洲哲學思想的兩大理論派別是: 由洛克, 休謨等人發展出來的經驗主義, 以及笛卡兒等人的理性主義, 康德則綜合兩者)

畢竟, 過去德國的哲學家 Emil Du Bois-Reymond 提出的悲觀論點, 對這世界種種不可知, 提出: [我們知道, 也永遠會知道], 將科學難以解釋的現象允以合理化, 直到希爾伯特, 才對於這類悲觀哲學理論做出積極正面的回應. 
有此看來顯然過與不及, 都是口水戰, 各有擁護者, 直到後述的哥德爾提出不完備定理, 才用嚴謹的方法說明, 數學也有其不完備, 不完美之處.

簡言之, 科學進展既然面臨更加不確定性的深究, 把非線性擺在第一位, 其實無庸置疑, 幾乎已經包羅萬象, 其中又以混沌理論, 最為重要. 人類三百年來集中密集發展的科學工具, 將是積極誠實面對真實世界複雜的最佳時機了!
混沌理論的重要性質包括:
@ Sensitive Dependence on Initial Conditions.
@ The trajectory never repeats.
@ They are nonlinear.
@ The transition to chaos is preceded by infinite levels of bifurcation.
@ The infinite bifurcations preceding the transition to chaos are characterised by the Feigenbaum number.
@ Fractional dimensionality.
@ A Lyapunov plot of the distance between trajectories versus time will exhibit a straight line.
@ The initial points of the first return map always lie above a line making an angle of 45 degrees with the horizontal.

(2) 測不準原理(uncertainty principle): 目前的科學, 自1927海森堡(Werner Heisenberg) 發現這個定理之後, 徹底解構笛卡兒, 觀察者與被觀察者, 主體與客體等形而上的角色界定已經消失, 天真的牛頓不在, 如量子力學讓我們知道, ㄧ個分子的位置和動能只有透過觀察者的行為才會出現, 而且取其一的準確, 無法兼顧(The more precisely the POSITION is determined, the less precisely
the MOMENTUM is known); 量子重力則告訴我們, 空間和時間取決於周遭條件, 相對於觀察模式. 這不是新觀念, 這些理論也發展超過80年了.
了解科學的限制與極限, 是避免誤打誤撞的良方.

 海森堡(Werner Heisenberg, 1901 to 1976) 德國科學家, 1932年諾貝爾獎得主. 原來從小可能成為鋼琴家的他, 後來居然成為量子力學的創始者之ㄧ. "測不準原理"或正確一點的翻譯是"不確定原理"(Uncertainty Principle 或是 Heisenberg Uncertainty Principle (HUP) ) = , 也就是動量的改變量 或是 位置的改變量的乘積會大於蒲朗克常數的一半( h=1.05 x 10-34焦耳-秒 = 6.58 x 10-22百萬電子伏特-秒), 如果要很精準, 也就是左式的兩個值, ㄧ個要是極小, 另一個就會變大, 導致兩者無法兼顧.
有個冷笑話, 關於"測不準原理", 可以超速的時候, 如法泡製向警察先生講: Heisenberg is out for a drive when he's stopped by a traffic cop. The cop says, "Do you know how fast you were going?" Heisenberg says, "No, but I know where I am."

 外國非常重視科學家, 甚至發行郵票!!

(3) 互補性(complementarity) 或 辯證(dialecticism)原則: 因為量子力學, 我們了解粒子和波對於光完整描述都是必要的. 波耳就此發表感言:[對於同一個對象的完整闡述, 可能需要"抗拒單一描述"的多樣觀點.] 或許生物醫學界還未找到對應觀點, 不過 關於量子力學的諸多應用設備卻逐漸用在其他應用領域.

(4)
不完備定理 (incompleteness theorems): 這是 哥德爾(Kurt Gödel)於1931年的傑作. 簡單的說, 它的意思是說: 不是任何數學表述僅緊靠引用公理或邏輯就可被證明或反證. 很清楚, 直接了當的說出了真相, 告訴大家, 科學有其限制, 和海森堡的定理, 都預示了極限, 就好像跟人說: [努力不一定會成功一樣.] 然而正面思考, 就是不必花太多時間追逐某些可能永遠證明不出來的東西, 反而讓人類得以集中精力應付其他的事情. 

 哥德爾(Kurt Gödel, 1906 to 1978)是照片裡左邊那一位, 他和愛因斯坦是好朋友, 現今許多他們倆的合照都是在普林斯頓高等研究院時期照的. 他是非常重要的邏輯學家, 25歲非常年輕的時候就證明出困擾歷史上所有邏輯學家, 哲學家與數學家的問題, 發展出[不完備定理], 隔年得到博士學位. 但是, 可悲的是, 誠如其他傑出的天才一樣, 下場都為心理疾病所苦. 1978年他的妄想症嚴重到無法/ 拒絕進食, 而結束他不平凡的生命. 有一些書在討論天才思維的背後, 既然超越智力常理所能達到的極限, 被稱為"superhuman cognitive ability", 自然有可能比一般人容易發瘋, 就像電路超載一般. 人生的幸與不幸其實很難說!!

(5) 非交換的 (non-commuting): 交換律是我們從小學數學常看到的, 如a+b=b+a,...等等, 但是在現代的理解, 很多理論交換之後卻不成立, 這也是超乎常理所能想像的.

(6) 科學的藩籬被推翻, 有其共通性: 每個學科都存在基本原理相通的發展可能, 所以學科的界線, 必須被徹底打破, 尤其是分工極細的專業, 跨領域是必要的, 無論從教育, 制度都是需要改善的. 當然, 研究是越來越辛苦, 光看懂就不容易, 還得創新, 這, 簡直困難, 因此也難怪要做出好的, 有意義的研究實屬艱難. 如代數, 在所有領域都發揮影響力, 李代數(Lie algebra)就是一例.

大數學家 龐加萊 (
Jules Henri Poincaré)曾說:[沒有已經解決或尚未解決的問題, 只有或多或少的問題.]

A cobweb construction of the logistic map, showing chaotic behaviour for most values of r > 3.57.



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