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文章出處
  蔡豐州醫師
日期&閱覽
 張貼日期:2007/10/3  閱覽次數:3798
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                                                            作者: 蔡豐州醫師 (版權所有)

即使有改變, 我還是始終如一 (Eadem mutata resurgo)    ----- Jakob Bernoulli (雅各.伯努利)

歷史上最有名的數學家族: 伯努利家族 , 家族中最早成名的雅各講了上述這句話(他的話在說"對數螺線").
ps: 伯努利家族: 別人一個家族出ㄧ個天才就得燒香拜拜, 在臺灣還大肆宣揚, 怕別人不知道. 他們家族量產, 聰明和吃飯一樣簡單, 覺得沒什麼, 但是卻雄霸歐洲數學150年, 教出來的學生也是赫赫有名, 如歐拉, 堪比音樂界的巴哈家族

有人可以做得到上面講的那句話嗎? 應該沒有. 這種情況只有科學堣~看得見, 也就是e(exponential).
這個e, 可不是英文字母與發音的意義, 也不只是電子, 網路, 考試成績, 胸部罩杯, 維他命, 東邊, 能量或是漫畫裡的表情話語.

e, 這個英文字, 在自然科學界是相當重要的, 因為它代表自然對數(natural logarithm)的底, 數值大約是2.71828 (美國人為了方便記憶開玩笑稱做2.7(傑克遜總統)^2, 因為傑克遜總統是1828年就職)....到現在, 我更覺得它對醫學研究的影響, 至少教學時必須多加著墨.


要舉出e多奇妙, 可以列出ㄧ大堆, 光是它是函數中, 唯一微分與積分後都是原函數的性質, 就夠令人驚訝的.
舉凡生物界的decay, 如人口, 群落等; 生理學的感覺公式, 如 Weber-Fechner law; 牛頓的冷卻定律; 聲波的"藍伯吸收定律"(Lambert's law of absorption); 放射性物質的衰變率.....都可以用指數函數來表示.

在醫療這個領域最常見的就是呈現 指數型遞減 (exponential decrease or decay), 也就是隨著時間, 逐漸減少, 但是不是呈現線型關係, 而是等比級數式的減少, 初期掉得最多, 後來趨近水平.

decrease by one-half every half-life左圖是基本型, 也就是符合指數遞減的標準

 這種指數遞減, 也可以用微分方程式(DE)的角度解釋, "物質減少的速率和其數量的關係呈反比", 同時解出相同的結論, 此類稱為 decay law. 其較精確的解是, 和上個陽春ㄧ點的公式, 差在增加了初始條件的變數. 在研究放射性物質衰變問題常提到的 半衰期(half-life) , 也可以由上式推導出 半衰期=.

現實生活中, 當然數據只能近似, 接近, 畫出的曲線不會如此平滑, 如下舉例.

像左圖是切斷老鼠坐骨神經(sciatic nerve)之後, 肌肉萎縮時, 兩種蛋白質(N-cadherin, alpha-catenin)現先線型上升, 後呈指數遞減下降的情況. 生理現象總是如此, 先掙扎代償往上彌補, 後來苦撐不下去, 就最後兵敗如山倒, 呈現不同速度的指數遞減.
 從左式較基本的型態來看, y值受到 ca 的調控, 尤其是a值影響y值與曲線的陡峭程度.

很多圖形都或多或少隱含著這類趨勢, 如上圖針對某領域的論文投稿量的統計, 初期呈現線型關係升高, 後來到了個最高值之後, 就指數遞減. 這在研究領域可以理解, 畢竟一開始最早論文不多, ㄧ旦被大家發現這個領域很讚, 便開始一窩瘋投入, 終於到了個最高峰之後, 該寫的都寫得差不多了, 又或者發現這個領域沒有想像那麼重要, 或是更極端的, 驚覺根本不重要 or 到了死胡同, 論文便開始遞減. 生物領域的論文如apoptosis, NO 等等都是如此, 蛋塔效應就是這個樣子, 只是會掉到多低的level而已.
增加快速, 減少趨緩, 也許是"保護"的必然現象.
不過和數學不同的是, 研究數據一般不會趨近極限值, 如上公式所呈現的, 如果到了 t 無限大, 應該 y 值會趨近 0 .
指數函數有減少, 當然也有增加的(上述公式a<0), 一些生物技術都存在這類應用, 如 quantitative RT-PCR,..等, 藉由倍數放大微量生物的訊息方便進行解讀與分析, 並用數學公式把量的相對關係找出來.

另外常見的e, 出現在機率分佈裡, 如下圖公式, 出現機率的函數值, 和平均值標準差兩個變數有關, 這種較標準的公式與分佈叫做 高斯分佈(Gaussian distribution), 通常出現在連續與隨機的變數.

高斯分佈(Gaussian distribution)的公式.

  值就是標準差(standard deviation, 或是叫做width of the Gaussian, 我個人覺得後面這個名字比較容易直觀了解, 因為它意思就是代表數據離平均值的距離/大小), 此值變大, 上述圖形就會變寬扁;  同樣可以簡單推理, 平均值數據不同, 則會影響圖形在 x axis(軸)的位置. 當然, 這個曲線下的面積, 也就是上述公式的積分值, x 趨近無限大, 答案就是整體機率, 也就是1.

 ㄧ樣, 真正的數據不會乖, 會接近!!

愛因斯坦於1905年關於布朗運動的論文也就是分子的機率分布, 可以推理, 提到分佈和機率, 當然也有上述類似公式的e

   D是擴散係數, 擴散機率密度函數f(x) 滿足左邊的偏微分方程式

用上式可以解出左式, 看到e又在那裡.

科學令人感動的地方在於, 原本無知的我, 藉由了解更多領域的知識之後, 發現相通性, 甚至發現意想不到的謀合處. e, 難怪被稱為"自然", 因為太多地方會看到它, 遠遠超乎我的想像.

我自己因興趣而推導的genus function, 也是呈指數函數型態!!

再來是本文ㄧ開始所提到雅各.伯努利的話: 即使有改變, 我還是始終如一 (Eadem mutata resurgo), 它指得是 對數螺線(logarithmic spiral). 它出現在自然界很多地方, 如鸚鵡螺, 向日葵, 角, 牙, 星系, 殼, 氣壓圖...等.

 鸚鵡螺剖面圖
對數螺線的公式可以簡單想, 是把上述公式 中的 y 改成極座標半徑 r, 而 t 改成極座標角度(用弧度表示, radian). 它的特性, ㄧ如指數函數, 當角度等差增加, 距極點的距離(半徑)等比增加. 上述的公式讓螺線呈旋, 當指數為正值時, 為右旋.

光這樣不會讓它被雅各稱為 神奇螺線(spira mirabilis) . 它的驚人特性包括: (1) 通過極點的每一條直線, 都以相等的角度與螺線相交, 這是所有曲線中唯一具有此特性的, 所以又叫做[等角螺線]; (2) 它在大部分的幾何變換中都能保持不變, 如[反演變換](transformation of inversion), 也就是 r 變成 1/r 之後, 形狀變成一樣, 只是變成鏡像; (3) 它的漸屈線(evolute)仍是自己; (4) 垂足線(pedal curve)也是自己; (4) 焦散曲線(caustic curve).....通通不變.

也許就是這樣, 大自然的奧秘選中了e, 才能確保演化中大部分特性不變, 或變得有條理
.

接下來, 懸鏈線(catenary)也是頗有趣的問題, 我也將之運用到研究臉部整形上.

最早雅各1690年的<<Acta eruditorum>> 這個科學期刊中提到: [ㄧ條柔軟均勻的線掛在兩定點上, 讓它自由垂下, 會是怎麼樣的曲線??]

 這是日常生活常看到的形狀, 電線桿上的電線鬆了, 垂下來就像這個德性; 小孩子跳橡皮筋; 密蘇里州聖路易市的拱門; 天花板吊飾; ..... ㄧ開始大家都亂猜是拋物線(因為當時那個年代, 最熟這個曲線), 結果天才荷蘭數學家惠更斯17歲就證明它不是. ㄧ年後, 由三個人惠更斯, 萊布尼茲, 雅各的弟弟約翰.伯努利分別解出來, 公式如下:
很像上述指數函數公式的正負值加在一起平均 (a值屬於常數, 由鍊的物理參數, 如線密度以及 兩端的拉力決定.)

在所有懸著的鏈子可能形狀中, 懸鍊線的重心被證明是最低的!! 上述公式後來亦被發現, 具有類似三角函數特性, 所以命名為雙曲函數(Hyperbolic function), 可以運算, 符號為cosh(雙曲餘弦, 即上述公式 a=1), sinh.
 懸鍊線立體的形式是catenoid, 曲面上每個點的總曲率=0, 所以張力施加於catenoid產生零壓力. 有趣的是, 在醫療上, 心臟肥大時, 心臟為了減低與平衡張力, 心室間隔(interventricular septum)的形狀, 會逐漸變成catenoid的形狀.

近代非常重要的複變數函數論, 由柯西(Cauchy)開創, Karl Weierstrass 奠基, e也扮演角色.
左圖上是著名的歐拉"三角"公式(很多書把它稱為歐拉公式, 其實不對. 因為歐拉一輩子發明太多公式, 眼睛瞎了, 孫子在腳跟前玩耍, 都可以發明數學, 足以寫成80本書那麼厚, 堪稱數學界的莫札特, 可怕!! 所以為了對得起他, 必須把這個公式標明用途), 把虛數, 指數, 和三角函數巧妙結合在一起, 從此複數在極座標上大展身手.

藉由上述複數指數(complex exponents)公式的推導, 赫然發現過去無法想像的數, 也是有意義的, 比如說:左式兩個虛數兜在一起, 沒人知道是什麼碗糕. 結果呢? 經過複數指數推導, 答案竟然由虛數變成實數, 真的詭異, 超現實.

上述談論懸鍊線的雙曲函數有ㄧ點點像三角函數吧(coshcos多個h)!! 沒錯, 倒過來其實三角函數, 利用歐拉的三角公式也可以用複數指數函數模擬(如上圖), 間接影響了傅立葉分析(Fourier analysis)的誕生.

您可以想像週期訊號可以用我們熟悉的三角函數來模擬(因為它們也有週期性, 科學就用類似的東西加上嚴謹的邏輯來模仿), 也就是用弦波作為基底來組合成近似的函數. 但直接用弦波會碰到許多複雜的三角函數運算, 因此才會用上述類似的觀念: 三角函數可用複數指數函數組成, 然後用積分兜在一起

另外, 這個複變數具有週期性, , 所以探討這類函數只要了解基本域即可. 週期性或平衡狀態的物理現象, 應用複變函數理論很廣, 如靜電場, 流體, 熱平衡等等, 包括由基本"柯西-黎曼方程式"(Cauchy-Riemann equations)推導出的著名的"拉普拉斯微分方程式"(Laplacian equations), 重要性可見ㄧ般.

拉普拉斯轉換(Laplace transform)也是重要的微積分工程數學工具, 用以消去微分項與積分項, 變成簡單的代數運算, 其基本型如下, e也在其中喔.

 把每一種東西變成另ㄧ種東西的關係制訂好, 找出來遊戲規則之後, 就可以每次套用. 也就是換ㄧ種面貌, 然後查表, 會比較好算!

e到處可見, 另舉例如下:
(1) HodgkinHuxley1954 年推導的神經傳導公式:

 R是兩脈衝傳導速度比, T是時間差

(2) 全反射螢光顯微鏡技術可以在縱向上達到奈米級的解析度. 它的原理是以前高中物理學的, ㄧ道光從折射率高的介質到折射率低介質時, 如果入射角大於臨界角, 就會有全反射現象, 符合Snell' law. 理論上, 學校教的全反射, 不會有光進到介面, 但是以電磁波觀點來看, 還是應該會有電磁場穿透進去一小段距離, 而且強度會成指數遞減, 公式如下, 稱為漸逝波(evanescent wave), 所以可以利用此特性來激發介面下的螢光物質, 沒有背景的干擾.
z是縱軸距離, d是入射距離

(3) 量子力學的 機率幅(probability amplitude) , 用複數表示
C是機率幅; H是哈密頓矩陣係數; h是蒲朗克(Plank)常數; t是時間--- 也是微分方程的解, 所以又出現e.
推導過程如下:

.....................................................................etc.(太多可以列舉)

e很複雜, 也很簡單, 但是無所不在, 即使你在e-web世界, 也不能或缺.
 

kuso一下: E 字 型 視 力 表(Snellen's E chart)1862 年 史 奈 倫 醫 師 首 創, 其 測 試 距 離 為 二十 英 呎 ( 約  六 公 尺 ), 用 E  是 為 了 讓 不 識 英 文 字 母 的 人 , 也 可 看 懂 E 字 三 橫 線 缺 口 的 方 向

   所以囉, 和視力一樣, 要仔細看清楚e(E), 了解e, 真的不簡單!!


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