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Riemann-Stieltjes 積分, 微分拓樸幾何應用
文章出處
  蔡豐州醫師
日期&閱覽
 張貼日期:2007/2/27  閱覽次數:3335
                         Riemann-Stieltjes 積分, 微分拓樸幾何應用

                                                                                
 作者: 蔡豐州醫師

我始終相信: 困難是心態的問題.

數學是工具, 只不過從小到大, 被無用化, 被隱晦了. 其實我們只要站在遠一點的地方看它, 挑重點精神看, 我們又不是純數學的, 壓力一旦從心中釋放與解除, 就會有趣不少, 甚至威力無窮.

千萬不要被過去的成見所打壞胃口, 教育與考試, 往往讓我們產生"困難"與"無用"的心理兩大障礙. 我們多看, 就不會畏懼, 就不會陌生, 就會有新的領悟與應用. 看不懂, 再看, 訓練告訴自己看不懂又不會怎樣, 然後, 沒什麼了不起, 也許終究會自明的.

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積分(Integral), 在我的眼, 就好像把任何東西切成一塊塊, 可以處理的, 然後無限塊, 加起來. 從一開始最常接觸的用積分來算面積, 稍為數學ㄧ點就是, 每一個小塊的面積就是 底(x) x 高 (f(x)), 再把它們加起來, 只不過龜毛一點, 你選得是突出曲線小塊的高, 還是低於曲線小塊的高, 也就是上界還是下界的高來乘.

因此 Riemann 積分其實說穿了不過是把巨象東西微小化來分析累加方式的其中一種當然天才總是想出我們想不到的原創性), 因此可以推廣成其他很多種, 包括 Riemann-Stieltjes Integral 積分, 它是在1894年的時候, 荷蘭數學家 Thomas Joannes Stieltjes 在討論極限時所引進的.

 左列是 Riemann-Stieltjes Sum 的呈現, P是分割方式, 也就是各個小塊的分割方式都可以從上述瞧出端倪.

應用這個基本的定義, 我們可以推演出下述 分部積分的公式(integration by parts). 由於積分可以把d符號之前的稱做被積分函數(integrand), d之後的稱做積分函數(integrator). 分部積分的公式就是很簡單, 也就是被積分函數與積分函數互換位置之後, 彼此的關係.


那這又有什麼重要? 數學工具就是把我們推導出最後公式的一些過程簡化, 讓我們藉由換來換去的動作, 來呈現出較有意義的部份. 愛因斯坦的相對論, 所用著名的洛倫茲轉換(Lorentz transformation), 證明光速相對於所有慣性座標公式皆成立, 數學家閔科夫斯基對於相對論的貢獻也是將之由三維推導到四維度連續體, 則是利用巧妙的把光時(light-time, l=ct), 用虛數取代(x4=il=ict), 讓公式更漂亮.

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人體肌肉細胞就像上述的一個小方塊與單位, 如此也可以套用數學模式來推導.

 


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