幾何和群論 Geometry and Group theory
作者: 蔡豐州醫師
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大數學家龐加萊曾經一語道破: [整個數學就是群的的學問.] 因此, 討論幾何無可避免會和群整合起來.
首先先從基本的幾何架構說起. 拓樸空間 (topological space) 和 流形 (Manifolds) 是很重要的幾何概念. Manifold 就像是科學的舞台一樣, 表演的元素和角色都呈現在上面, 也因為呈現在上面, 我們需要劇本, 角色和種種對應關係....等等. 每個人, 包括我在內, 乍看這些東西, 心中一定會產生疑問, 為什麼要搞這麼複雜?! 吃飽沒事做. 其實我個人認為, 數學發展至現代, 是有其歷史脈絡的, 也就是過去最簡單的歐氏幾何, 自從西元前三百年, 希臘數學家歐幾里得發表<幾何原本>之後, 我們想當然而的過了兩千年以上, 幾何是平面幾何, 直到遇上曲面的非歐幾何之後, 人總會開始重新思考, 平常平面上的兩個點的距離可以劃一條直線來測量, 但是, 在地球的曲面上, 彎彎的, 怎麼測量? 總不能鑽進地球吧? 過去認為對的定義, 到了曲面都搞不定, 那如果更複雜怎麼辦? 到底什麼是距離? 什麼是空間? 有沒有一些定義可以放諸四海皆準, 數學家不要老是被人吐嘈: [你看, 這裏不適用了喔]... 等等, 過去理所當然的事, 原來不是那麼有道理. 研究科學, 如果每個都用差不多, 或者有些可以, 有些不行的話, 連數學都不穩固, 其他奠基在最基本數學的其他科學, 就會大亂. 人類生活的進步, 就是靠這些, 不能光靠耍嘴皮子, 還是誰拳頭大, 定規則, 定法律? 所以, 回歸到一個我們不太認識的多維空間, 超過直覺的空間時, 點和點之間要研究它的性質, 就得從最基本的集合(set)來下手.
topological space就是一個最基本, 不會出錯的空間定義, 從數學最基本的集合概念來定義, 最為扎實, 不陷入空泛的各說各話, 也就是嚴謹的定義, 當然也可以從各種互通的角度來說明:
數學和其他科學一樣, 需要定義清楚之後, 再作衍生與研究.
A topological space is a set S together with O, a collection of subsets of S, satisfying the following axioms:
1. The empty set and S are in O.
2. The union of any collection of sets in O is also in O.
3. The intersection of any finite collection of sets in O is also in O.
從上面的基本定義就可以知道: 一個集合內的組成不管用聯集還是交集都還是其中的一份子才算拓墣空間的性質!! 鬆散隨便的形容: 數學經過"運算"之後, 怎麼做都會一樣就是拓樸, 譬如說: 一個圓變大變小, 拉長壓扁還是一個圓形的狀態. 先看一下【群】的定義也是類似:
group is a set, G, together with an operation "•" that combines any two elements a and b to form another element denoted a • b. To qualify as a group, the set and operation, (G, •), must satisfy four requirements known as the group axioms:
1. 封閉性 Closure. For all a, b in G, the result of the operation a • b is also in G.
2. 結合性 Associativity. For all a, b and c in G, the equation (a • b) • c = a • (b • c) holds.
3. 基本元素 Identity element. There exists an element e in G, such that for all elements a in G, the equation e • a = a • e = a holds.
4. 反元素 Inverse element. For each a in G, there exists an element b in G such that a • b = b • a = e, where e is the identity element. 運算(operation)之後, 集合內的元素基本上都還在裡面, 就叫做符合"群"的定義. 我們先擱在一旁. 先談論幾何的一些基本觀念.
只要定義清楚, 提供強或弱的條件, 我們就可以討論研究各式各樣的空間, 諸如 Hausdorff space --- 符合Hausdorff axiom也就是for any pair of distinct points p1 and p2 in S, there exist disjoints open sets O1 and O2, each containing just one of two sets. 換句話說, 我們可以針對"點"找到一個夠小的集合, 且包含了各自一個點的集合不相交. 諸如此類, 數學家往往針對各式的空間來研究它的性質.
上述toplogical space還會產生一些觀念:
如open covering (又叫做patches, {Ui}, 後面會再提到): a collection of open sets such that every point in S is contained in at least one of the Ui;
compact: if every open covering {Ui} has a finite sub-collection {U1,.....,Uin} that also covers S.
原本和賭博有關的機率, 建立在鬆散靠直觀經驗架構的機率, 後來嚴格化之後的機率空間(Probability space), 也是類似上述如此的定義方法!!
Fig. 1. 流形Manifold的性質
上面大概知道一下就好, 重點是我們還是得做我們熟悉的世界, 也就是找到"亂七八糟"東西和我們熟悉東西之間的關聯, 這也是流形的精神所在. 因為, 在亂七八糟東西裡的一堆點, 點本身其實本身沒有什麼意義耶!! 它只是在那裡, 怎麼辦? 就像我們看著天空的星星, 它一直在那裡, 沒有說話, 當然也不會告訴你, 它在那裡有什麼意義? 它是什麼? 名稱都是人類給予的, 距離等觀念更只是我們賦予的. 萬一在多次元或異形空間更不知所措, 不熟悉讓我們心虛, 很抽象. 我們從出生之後, 到人類所處的環境, 只熟悉三維的座標系, 譬如說直直, 平平的笛卡兒座標系, 也只會用它做測量. 因此, 一定得用對應的關係來賦予意義, 硬把抽象的點和我們所熟悉的, 可度量的座標系攏在一起, 才有所依據, 也就是mapping, 就好像你要比身高, 總要有個人或尺當參考, 比較, 對應, 才能說高矮, 多高等等 . 譬如某個點對應某個數值, 甚至方程式. 即使"怪怪"的空間, 彼此用熟悉或特定的座標系, 找到對應關係, 可以[轉換], 知道我們所要了解與研究的空間性質. 這種數學模式就叫做manifold.
再換一種說法, 或者假想我們是古人, 當我們不知道地球是球狀的時候, 一直"傻傻不清楚"以為是平的, 我們還是很開心的測量, 但是也不會出大錯一樣, 因為只要距離不太遠, 兩點的性質可以說是直線, 而不是球面上彎曲的線. 只不過距離一拉長, 這種近似的作法就不準了!! 這就是manifold的想法, 我們取一個點附近的區域, 當很靠近時, 無線小的極限概念, 就可以假設它類似或等同歐幾里得空間來測量與討論. 當然, 要這樣說, 得經過證明, 事實上已經有人證明出來了---- A manifold is a mathematical space in which every point has a neighborhood which resembles Euclidean space, but in which the global structure may be more complicated----- 無論空間多複雜, 都可以找到很局部的區域類似歐式空間, 這樣就好辦了.
manifold怎麼做呢? 用不正式的說法就是: 我們先考慮一個 topological space S, 然後把它分成一塊塊, 一片片的patches, 當然我們可以選擇足夠的patches來覆蓋整個S, 也會造成重疊. 然後, 對於任意一個patch, 稱它作U1, 我們可以找到一個map (P1), 來一對一可逆1-1(unique invertible relation)對應至實數空間Rn. 這裡先嚴格定義專有名詞: A set (called an atlas) of maps Pi called charts, which define a 1-1 relation between points in Ui and points in an open ball in Rn. 好, 現在再找另一塊patch, 叫它做U2, 它的對應mapping稱作P2, 也對應至另一個實數座標系. 數學巧妙的地方, 就是拐彎沒角, 繞路繞得大家頭昏腦脹, 又好像有一點道理. 前面不是說每一塊patch可能有重疊的地方, 喔, 我們就可以利用互換來找到兩個座標系的對應關係. 怎麼說? 這就像兩個不同的黨, 得找到共同的朋友, 才能建立合作關係或談判. 首先, 利用重疊的區域應該是一樣的共同"話題"或"朋友"(對不起, 白話無聊, 不專業一點, 也因為我是業餘愛好者而已), 所以, 從第一個實數座標系的"東西"反過來mapping(P1-1)就會到重疊的地方, 沒錯(想一下, 不難, 也就是invertible map), 然後, 再用P2不就到另一個實數座標系. 找到了對應轉換(transformation), 座標系換來換去就不再困擾 (這一段的敘述, 如上圖Fig. 1 shown). manifold正式一點的簡短說法是: 1, locally homeomorphic to Rn中的一個open set; 2, 同時 has differentiable transition functions. map既然是地圖觀念, 當然是局部的, 或鄉或鎮或市, 所以就有名詞: 一對一關係地圖的圖表(chart) 和 圖表的集合"圖譜"(atlas)的觀念. 數學上, 上述流形裡的對應, 因為拓僕空間有很多塊patch, 所以才會有上述英文正式一點的寫法是 An atlas of charts . 我們賦予最原始一堆點的拓僕空間和我們實數域的對應地圖關係(map), 就不再迷惘迷路, 這樣我們也可以應用實數域的所有學問, 把兩個領域接軌在一起稱作topological algebra. 雖然數學發展至後面, 一旦用tangent bundle, 就不需要上述的局部座標系, 也不需要atlas的觀念, 但是這畢竟還是不錯的入門, 且具有歷史意義的經典概念.
manifold, 既然mapping找到, 或者找到function, 這個function就面臨是否可微等問題, 可微的就叫做 Differentiable manifold, 可微幾次就用大C表示, 如可微三次, C3, 諸如此類. 還有, 一定所有manifold可以找到對應的歐式空間對應嗎? 答案是肯定的, 但是維度要大一點. 這是曾經搬上電影的數學奇才Nash(後來曾經發瘋過) 證明出來的--- Nash embedding theorem: Any manifold can be embedded isometrically into a Euclidean space of large dimension. (定義: immersion: locally one-to-one; embedding: locally diffeomorphism). 另外 strong Whitney embedding theorem: any connected smooth m-dimensional manifold (required also to be Hausdorff and second-countable) can be smoothly embedded in Euclidean 2m-space, if m>0.
其實一開始, 因為空間的研究需要, 無論是天文, 地理, 物理等等, 所以才發展出幾何學. 然後遇到不能解釋的, 就找出根本問題 修正定義, 這就是數學往往都是"推廣"而作許多好玩的研究.
對我而言, 做學問有趣的地方不在於什麼都懂, 而是追求知識的過程中發現觸類旁通的快樂!!
有沒有發現上述的集合, 有點像代數(Algebra), 加加, 減減, 移動位置等等. 譬如說: 符合不同的代數運算之後 每一些定義就會有一些性質:
Groupoid(群胚): a, b屬於R---a+b也是
Semigroup(半群): a, b, c屬於R---a+(b+c)=(a+b)+c 結合律(distributive)
Monoid(單子): a, e屬於R---a+e=e+a=a
Group(群): a, a-1 屬於R---a+a-1=a-1+a=e
另外再加上交換律的話, 每個名詞前面加上commutative.
Ring(環)的定義則是: A ring (R,+,.) is a nonempty set R with two binary operations + and . on R. 有下述性質: (1) (R,+) is a commutative group; (2) (R,.) is a semigroup; (3) the two operations are related by the distributive laws.
這些令人覺得無聊的東西, 其實是反過來發展的. 當人類先由一些直觀的東西, 定義簡單的數學, 之後發現好像有些地方不適用, 就做了修正; 又或者, 好像乍看不同的領域, 有些共同的規則, 可以藉由相同的基礎來架構. 於是, 代數, 幾何, 極限等等就變成了數學常用來把不同學問統合的工具. 這無疑是人類智慧的極致發揮, 經過數百年人類精英的投入, 才逐漸發展出現在讀來複雜的理論.
代數與極限加入空間的概念, 就可以正式為一些空間定義, 包括向量空間(vector space). 先粗略看一下定義:
提到向量空間之前, 先討論向量本身. 向量在我們求學的時候, 一直把它當作直線, A和B兩點拉一條帶有箭頭的線, 叫做向量, 表面上沒錯, 但是那只適用於三維的歐式空間, 嚴格叫做 position vector. 在球面2-sphere上就不對了, 兩點一連就會穿過球, 而被切斷中斷, 那沿著球面連結兩點的弧線叫做向量嗎? 也不是, 怪怪的, 因為這種向量沒辦法符合代數性質, 不能直接加減, 不能處理. 好, 數學家很聰明, 那只好用極限, 無限小(infinitesimal)的概念, 球面上畫很小很小一段, 不就很像"小直線", 不就可以再度應用向量的概念嗎? 或者從另一個角度看, 我用一個平面只切這個點, 那不就是在切平面上走一小段叫做向量, 或者稱做 切向量(tangent vector). 仔細一看, 這樣的想法不就是微積分的概念嗎? 沒錯. 所以 tangent vector 又可以稱為 derivative operator.
現在借用上述的流形觀念, 假設manifold M 上面的 patch U, 上面存在一個局部座標 local coordinates xi, patch U 上面一條path. 我們假設沿著path上的線性遞增增加的參數s, 我們可以得到manifold M上沿著這條path的點, 表示為 xi=xi(s). 然後接著考慮一個在M上面的smooth function f. 沿著上述那條path上的點, 可以用f產生數值為f(xi(s)).
根據chain rule, 我們可以代出
 , 左邊最下方的表示法, 是愛因斯坦對於"和"的簡寫方式(Einstein summation convention).
我們可以定義下述 沿著那條path的 directed derivative operator V
 , 這樣可以將smooth function f 導向map至R 實數域, 也就是產生數值  .
這樣的定義就可以符合 linearity property V(f+g)=Vf+Vg ; Leibnitz property V(fg)=(Vf)g+f(Vg).
在M上的p點的tangent vectors所構築而成的向量空間 稱做 tangent space, 記做Tp(M) .
接著, 我們可以運用泰勒展開式(Taylor's theorem), 表示local coordinates xi:
 , xip denotes the coordinate system to the point p.
我們定義:
 ---Vi 就是向量 V 的組成.
然後就得到 , 因此就可以發現向量空間的基底(coordinate basis)就是 , 這裡可以發現切向量空間的維度等於座標系xi的數目, 也和manifold M 的維度一樣. 總結一下, 有別於唸書時代定義於歐氏空間的直線, 向量 V 現在的定義是獨立於座標系(coordinate-independent) , 也就是沒有關係; 但是它的組成 Vi 是和座標系相關的(coordinate-dependent). 大方向沒變, 東西沒變, 但是觀察者改變的話, 只是裡面的每一個座標方向改變而已, 那麼改變的公式很簡單, 利用chain rule,  , 這就是general coordinate transformations.
這個切向量空間上每一點不是會有很多條經過它的所有可能切向量, 把它們集合起來就是 tangent bundle,  , 定義為T(M)或TM.
回到前面提到的向量空間(vector space), 定義是說向量經過有限次數的加法(addition)或乘上"純量"scalar multiplication)仍舊還是屬於向量空間內, 這是封閉性.
一般而言, 舉例: 在Rn裏的向量空間, 向量的表示方法為: n-tuplet (a1, a2, ....., an)
加法(vector addition): (a1, a2, ....., an) + (b1, b2, ....., bn)=(a1+b1, a2+b2, ....., an+bn)
scalar multiplication: r 是實數, r(a1, a2, ....., an)=(ra1, ra2, ....., ran)
當然, 在實數域裡, commutativity, associativity等一大堆性質依舊成立.
不同的向量空間X, Y 經過彼此運算, 也會成為另一種形式的向量空間, 也就是張量空間(tensor-product (vector) space)  : 張量積也符合distributive law  , 假設xi, yj分別是X,Y的basis, 所以張量空間 tensor product space Z=zijxiyj, 它的維度就是兩個空間維度的乘績.
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幾何和群論 (Geometry and group theory)
蔡豐州 醫師
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